Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

CUPRINS
Introducere ......... 3
Capitolul I. Inele.
1.1 Definitia inelului. Exemple. ........... 4
1.2 Proprietati de baza ale inelelor ......... 9
1.3 Subinele .... 13
1.4 Ideale ........ 18
1.5 Inel factor ... 23
1.6 Morfisme de inele ......... 26
1.7 Inele de fractii ............. 35
1.8 Inele de polinoame ........ 38
1.9 Inelul claselor de resturi modulo n ..... 46
Capitolul II. Corpuri.
2.1 Definitia corpului. Exemple. ............. 50
2.2 Proprietati de baza ale corpurilor ........ 55
2.3 Subcorpuri .... 58
2.4 Corpuri prime 59
2.5 Morfisme de corpuri ........ 62
2.6 Corpuri finite . 64
2.7 Corpul fractiilor unui domeniu de integritate ......... 72
Bibliografie ............ 75

Alte date

?

Corpuri?INTRODUCERE

Corpurile joaca in rol important in rezolvarea problemelor legate de multimi inzestrate cu doua operatii binare.

Exemple concrete de multimi inzestrate cu doua operatii se intalnesc de catre cei care vor sa studieze matematica inca din primele clase de scoala. Ei discuta despre suma si produsul a doua numere naturale desi definitiile mai concrete ale operatiilor de adunare si inmultire in multimea numerelor naturale nu le pot intelege inca. În liceu sunt invatati sa defineasca corect operatiile de adunare si inmultire in multimea numerelor intregi , rationale, reale, complexe, in multimea polinoamelor cu o nedeterminata, in multimea matricilor patratice etc.

Asemenea exemple concrete de multimi inzestrate cu doua operatii binare , pot fi studiate dintr-un punct de vedere mai larg , prin introducerea notiunilor de inel si corp.

În lucrarea de fata am incercat sa fac o trecere in revista a celor mai cunoscute notiuni despre inele si corpuri, realizand o prezentare teoretica a inelelor si corpurilor, cat si demonstratii ale teoremelor cu unele exemple practice.

În primul capitol al lucrarii sunt prezentate principalele notiuni, definitii, teoreme si exemple de inele, iar capitolul doi face acelasi lucru legat de corpuri algebrice .

CAP. I. INELE

1.1. Definitia inelului. Exemple

1.1.1. Definitie : Fie A o multime inzestrata cu doua operatii binare notate prin simbolurile + si ? si numite operatie de adunare respectiv de inmultire. Tripletul (A,+, ?) se numeste inel daca satisface conditiile ( axiomele) :

(i) (A,+) este grup abelian (comutativ) ;

(ii) (A, ?) este semigrup ;

(iii) Pentru orice a, b, c A ,

a ? (b + c) = ab + ac

(a + b) ? c = ac + bc ,

adica operatia de inmultire este distributiva, atat la stanga cat si la dreapta, fata de operatia de adunare.

Explicitand proprietatile 1, 2 si 3, (A, +, ?) este inel daca:

1. (x + y) + z = x + (y + z) , () x, y, z A.

2. ? 0 ? A a. i. 0 + x = x + 0 = x , (?) x?A

3. (?) x?A , ? -x ?A a.i. x + (- x ) = (- x) + x = 0

4.

5. x(yz) = (xy)z , () x, y, z ?A

6.

7.

Observam ca A?, deoarece cel putin elementul neutru fata de operatia de adunare trebuie sa apartina lui A, adica notand acest element prin 0 , neaparat 0A . Elementul 0 se numeste elementul zero al inelului, prin analogie cu numarul intreg zero, care joaca rolul de element neutru fata de operatia de adunare in Z.