Pagina documente » Informatica, Matematica » Curbe si suprafete Bezier

Despre lucrare

lucrare-licenta-curbe-si-suprafete-bezier
Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.
lucrare-licenta-curbe-si-suprafete-bezier


Cuprins

Cuprins:
I. Curbe Bizier.3
I.1. Curbe Bizier in baza Bernstein..............3
I.2 Proprietati ale polinoamelor Bernstein......6
I.3 Proprietati ale curbelor Bizier..8
I.4. Geometria unei curbe Bizier12
I.5. Reprezentarea procedurala a curbelor Bizier.
Algoritmul de Casteljau.............13
I.6.Interpretarea geometrica a algoritmului
lui Casteljau.....16
I.7 Relatii intre poligonul de control si forma cuebei
Bizier asociate19
I.8 Marirea gradului parametrizarii unei
curbe Bizier....22
II. Suprafete Bizier.......25
II.1. Suprafete de tip produs tensional.........25
II.2. Suprafete Bizier29
II.3 Particularitati ale formei pinzelor Bizier.40
II.4 Modificarea numarului de virfuri ale retelei
de control a unei pinze Bizier...43
II.5 Racordarea pinzelor dreptunghiulare Bizier.........45
III. Curbe si suprafete hermite.........52
III.1 Curbe cubice Hermite..53
III.2 Suprafete bicubice Hermite.59
IV. Descrierea aplicatiei.......67

EXTRAS DIN DOCUMENT

?CURBE SI SUPRAFETE BÉZIER

Curbe Bézier

?

Prefata

Modelarea geometrica este un instrument de baza in inginerie si in stiinta. Fundamentata ca o ramura noua a informaticii si matematicii impusa de deyvoltarea tehnologiei calculatoarelor, modelarea geometrica (cunoscuta si sub numele de Computer Aided Geometric Design sau prescurtat CAGD) este o geometrie bayata pe calculator.

Primul beneficiar al tehnicilor CAGD a fost industria constructoare de automobile, aviatica. Modelarea pentru aplicatiea in inginerie necesita un grad sporit de acuratete a reprezentarii, intrucat modelele sunt destinate fabricatiei.

În ultimul deceniu, sfera de aplicabilitate a modelelor de modelare geometrica s-a extins la design, la dirijarea miscarii robotilor, la reconstructia corpurilor 3D, in tomografi compiuterizate, in generarea de imaginii media.

Lucrarea de fata isi propune sa ilustreye unul dintre elementele geometricii fundamentale pe care se bazeaza modelarea geometrica, anume panza de suprafata de tip Bézier.

Lucrarea este structurata in 4 capitole. În primul capitol se introduc curbele Bézier necesare in reprezentare de tip wére-frame ale suprafetei Bézier. Sunt enumerate si demonstrate proprietati geometrice ale acestor doua metode (algoritmi de reprezentare grafica).

În capitolul al doilea sunt definite suprafetele Bézier sunt demonstrate proprietati generice ale lor si este pus in evidenta un algoritm de reprezentare bazat pe reprezentarea procedurala datorata lui de Casteljau.

Capitolul trei descrie o clasa de curbe si suprafete Bézier cubice, cunoscute sub numele de curbe si suprafete Hermite, ce sunt folosite in anumite probleme de interpolare.

Capitolul al patrulea este destinat aplicatiilor practice. Sunt descrise programele elaborate in C++ pentru vizualizarea curbelor si suprafetelor Bezier si Hermite si evidentierea unora dintre proprietatilor acestora.

Capitolul I

CURBE BÉZIER

I.1. Curbe Bézier in baza Bernstein

În CAGD se lucreaza preponderent cu curbe polinomiale adica curbe definite de o parametrizare polinomiala: c : [a,b] ? ?3 , c(t)=(x1(t), (x2(t), (x3(t)) cu xi ? Pn[a, b], , unde:

Pn[a,b] = { P : [a,b] ? ? ? P(t) = a0 + a1t + a2t2 + …+ antn,

a2 ? ?, }. (1)

Maximul gradelor polinoamelor xi, i=1,2,3 se numeste gradul curbei. Alegerea functiilor din aceasta clasa pentru parametrizari de curbe si suprafete este justificata de calculele simple necesare pentru evaluarea lor, ceea ce conduce la marirea vitezei de lucru si la reducerea cumularii erorilor de calcul.

Cu ajutorul curbelor si suprafetelor astfel parametrizate se pot modela o mare diversitate de forme. Un argument in plus este oferit de teorema lui Weierstrass care afirma ca orice functie continua f : [a, b] ? ? este limita uniforma a unui sir de functii polinomiale. Cu alte cuvinte o functie continua poate fi reprezentata cu precizie arbitrar fixata de o functie polinomiala.

În cele ce urmeaza consideram spatiul E3 raportat la reperul ortonormat ? = (O; {e1, e2, e3}) de sistem de axe Ox1 x2 x3 .

Observatia 1.1. Orice curba polinomiala ?=imc, c:[a, b] ? ?3. poate fi reparametrizata polinomial de o aplicatie d : [0, 1] ? ?3.

Într-adevar cu ajutorul schimbarii de variabila ? : [0, 1] ? [a,b], ?(s) = (1– s)a + sb, definim parametrizarea d prin d = c ? ?. Acest argument ne asigura ca nu se restrange generalitatea considerand in cele ce urmeaza curbe polinomiale a caror parametrizare este definita exclusiv pe intervalul [0, 1].

Presupunand ca ? = imc este o curba polinomiala de grad n,

(2)

asociem parametrizarii punctele ai(a1i, a2i, a3i), . Astfel, formal, c(t) se poate scrie sub forma:

c(t)= a0+ a1 t+…+ antn. (3)

Scrierea este formala deoarece 1 + t + t2 +…+ tn ? 1 si deci nu are semnificatie geometrica (daca suma ar fi egala cu 1, atunci c(t) ar fi o combinatie baricentrica a punctelor ai, ). Expertii in CAGD au incercat sa gaseasca modul in care modificarea unuia sau a mai multor puncte ai din parametrizarea c(t) influenteaza geometria curbei, dar nu s-a gasit nimic concludent. Prin urmare aceste puncte nu au semnificatie geometrica si deci scrierea (exprimarea) unei parametrizari polinomiale relativ la baza canonica B = (1, t, … tn) nu este utila in designul liber.

Oferta anului

Reducere 2020