Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

CUPRINS
INTRODUCERE 1
CAP. I. ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA METODELOR NUMERICE DE CALCUL MATRICEAL iN LICEU 89
1.1. PREDAREA METODELOR NUMERICE DE CALCUL MATRICEAL 89
1.2. METODICA ELABORARII PROGRAMELOR 130
1.2.1 Etapele necesare rezolvarii unei probleme cu calculatorul 130
1.2.2 Cerinte metodologice necesare realizarii programelor informatice educationale 131
1.2.3 Metodica realizarii programelor 132
CAP. II. PARTICULARITATILE PROCESULUI DE iNVATARE iN CADRUL DISCIPLINELOR DE INFORMATICA 62
2.1. IMPORTANTA INFORMATICII iN PROCESUL DE iNVATARE 62
2.1.1. Importanta utilizarii calculatoarelor in procesul de invatamint 62
2.1.2. Formarea atitudinii stiintifice 68
2.1.3. Dezvoltarea creativitatii prin informatica 69
2.1.4. Asigurarea caracterului interdisciplinar intre informatica si celelalte discipline de invatamint 73
2.2. OBIECTIVELE STUDIERII INFORMATICII iN CONTEXTUL ACTUAL AL PROCESULUI DE iNVATAMiNT 75
2.3. OBIECTIVELE INSTRUIRII PENTRU DISCIPLINELE DE INFORMATICA 83
CAP. III. ELEMENTE DE TEORIA MATRICELOR 6
3.1. NOTIUNI SI CONCEPTE PRELIMINARII 6
CAP. IV. PROCEDURI DE TRIANGULARIZARE SI FACTORIZARE A MATRICELOR 14
4.1. PROCEDURI DE TRIANGULARIZARE 14
4.2. PROCEDURI DE FACTORIZARE 21
4.2.1. Factorizarea LR 21
4.2.2. Factorizarea Cholesky 30
4.2.3. Factorizarea QR 31
CAP. V. APLICATII ALE PROCEDURILOR DE TRANSFORMARE A MATRICELOR 39
5.1. METODE DIRECTE PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE 39
5.1.1. Metode directe bazate pe proceduri de triangularizare. 39
5.1.2. Metode directe bazate pe proceduri de factorizare. 52
5.2. CALCULUL DETERMINANTILOR 54
5.3. CALCULUL INVERSEI 56
5.3.1. Metoda lui Gauss 56
5.3.2. Metoda partitionarii 58
5.3.3. Metoda iterativa 59
BIBLIOGRAFIE 179
Metode de calcul numeric matricial-Implicatiile asupra perfectionarii curricumului scolar.
1
1

Alte date

?Metode de calcul numeric matricial-Implicatiile asupra perfectionarii curricumului scolar.?

INTRODUCERE

Calculul numeric reprezinta din cele mai vechi timpuri o metoda de lucru importanta in matematica. Necesitatea aplicarii in practica a rezultatelor teoretice obtinute la un moment dat a aratat ca de multe ori metodele numerice sunt singurele care pot scoate din impas o metoda care teoretic este calculatorie dar posibilitatea de a ajunge la un rezultat exact este imposibila.

Metodele de calcul numeric au avut o evolutie contradictorie. Daca multa vreme au fost preferate metodele exacte atata timp cat acestea puteau fi puse la dispozitie de teorie, odata cu dezvoltarea tehnicii de calcul situatia s-a schimbat radical tehnicile de aproximare numerica fiind reconsiderate si mult folosite. Mai mult, necesitatea implementarii unor algoritmi care conduc la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare inclusiv la inversari de matrice au aratat ca este mai util sa se foloseasca metodele numerice chiar si atunci cand exista solutii exacte furnizate de teorie. Se pot inversa matrice destul de mari, in aplicatiile curente fiind mai utila folosirea metodelor numerice si asta din doua motive importante.

În primul rand, implementarea unui algoritm numeric cere un efort de programare incomparabil mai mic decat construirea unei aplicatii in care sunt listate metodele standard de rezolvare exacta. Un algoritm numeric se reduce de cele mai multe ori la un efort de programare. Este adevarat ca exista algoritmi de calcul numeric care necesita cunostinte mai aprofundate, dar exista un corp destul de important de metode numerice foarte usor de programat.

În al doilea rand, multe tehnici matematice sunt mai util de programat prin calcule aproximative decat prin solutii exacte. În memoria unui calculator, oricum valorile tuturor variabilelor sunt retinute prin aproximatii ale lor, iar algoritmii pot produce aproximatii comparabile cu cele ale posibilitatilor calculatorului, moment din care nu mai prezinta importanta metoda folosita. În plus, unele din metodele exacte pot degenera in memoria unui calculator in situatii care devin imposibil de stapanit. Este cunoscuta situatia in care incercand o solutie exacta pentru un sistem de ecuatii cu patru sau cinci ecuatii, metoda formulelor lui Cramer da numere care depasesc orice posibilitate de reprezentare in memorie.

Utilitatea metodelor numerice nu trebuie de fapt sa fie scoasa in evidenta prin avantajele oferite sau prin simplitatea implementarii algoritmilor pe calculator, acestea sunt de fapt un capitol al matematicii fara de care nu se poate utiliza prea mult calculatorul si uriasa lui putere de calcul in prea multe domenii din matematica.

Lucrarea de fata si-a propus sa evidentieze o alta fateta extrem de utila a metodelor numerice: anumite concepte matematice devin mult mai palpabile si mai usor de inteles intuitiv in context numeric.

Un exemplu de astfel de concept este acela de sistem de ecuatii liniare, solutie a unui sistem de ecuatii liniare, rezolvarea unui sistem de ecuatii liniare. Modul in care se introduc aceste notiuni in liceu este evident natural si util, iar atunci cand se pleaca de la exemple care conduc la sisteme de ecuatii liniare si se ofera elevilor un cadru general pe care sa se particularizeze cu exemple, bineinteles ca se poate ajunge la o insusire operationala a conceptelor in cauza si la rezultate bune in procesul instructiv.

Capitolele de algebra liniara sunt considerate de profesori si in general si de elevi ca unele mai usor de insusit si care nu pun probleme deosebite in aplicatii si deci si la concursuri. De fapt algebra liniara este mai usor de insusit din cauza ca notiunile care trebuie insusite par la prima vedere destul de simple si pentru ca are o anumita unitate de continut si de idei matematice de la capitol la capitol ceea ce face ca trecerile de la o notiune la alta sa se faca mai lin, noile notiuni fiind de obicei construite pe baza celor anterioare mai bine ca la alte capitole. Dar nu de putine ori se constata ca multe notiuni sunt retinute mecanic, elevii se bazeaza mult pe regulile mnemonice pe care profesorii le ofera spre usurarea calculelor si care bineinteles ca sunt foarte utile atata timp cat nu ii impiedica pe elevi sa-si formeze pe cat posibil si imagini intuitive ale celor invatate.

Metodele numerice devin la acest capitol utile din doua puncte de vedere:

- ca metode in sine, de implementat pe calculator, care asa cum am spus sunt foarte indicate pentru elevii care peste cativa ani vor lucra efectiv pe calculator;

- ca posibilitate de a oferi o imagine cat de cat intuitiva a ceea ce se intampla in interiorul unui algoritm in timp ce acesta lucreaza pentru o problema destul de banala cum ar fi inversarea unei matrici sau rezolvarea unui sistem liniar. Acest lucru este deosebit de important avand in vedere ca deseori suntem tentati cu totii, nu numai elevii, sa retinem un algoritm asa cum a fost dat fara a intra in prea multe detalii sa le zicem “intime” ale metodei. Cum altfel putem pretinde ca cei care vor fi peste cativa ani in fata calculatoarelor vor produce metode mai precise si mai rapide de calcul daca ei nu inteleg bine in profunzime metodele clasice?

La mai buna intelegere a notiunilor pot contribui impreuna profesorul de matematica si cel de informatica, intrucat daca capitolele de algoritmi prevazute in cadrul orelor de informatica ar fi corelate cu prezentarea teoretica la orele de matematica si apoi aplicate in orele de programare, s-ar putea obtine rezultate mai bune in marirea interesului elevilor pentru ambele obiecte si mai mult, castigul acestora ar fi mai mare.

Consider ca aspectele metodice legate de folosirea metodelor numerice au fost cumva neglijate pe nedrept de vreme ce lumea informaticii ne obliga sa nu le mai ignoram in general, iar in procesul de invatamant in mod special. Aspectele metodice sunt considerate din punctul de vedere practic, al activitatii la catedra, precum si din perspectiva legaturii intre matematica si informatica. Trebuie mentionat ca bibliografia de specialitate este destul de saraca in acest domeniu destul de ingust dar care in viitorul foarte apropiat va cunoaste probabil o dezvoltare importanta.

Lucrarea de fata isi propune sa prezinte cateva modalitati de imbunatatire a predarii unor metode de calcul matriceal insistand pe aspectele metodice.

Astfel, in primul capitol am amintit cateva notiuni si concepte de baza pe care elevii le vor folosi in studiul metodelor care vor fi prezentate dar pe care deja si le-au insusit.

În capitolul al doilea sunt studiate proceduri de triangularizare si factorizare impreuna cu rezolvari de aplicatii concrete pentru fiecare metoda prezentata.

În capitolul al treilea sunt tratate metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii, calculul determinantilor si inversei unei matrice, bazate pe proceduri de triangularizare si factorizare si, desigur, exemple de aplicare a acestora.

Capitolul al patrulea contine, in prima parte, aspecte ale procesului de invatare, importanta informaticii, rolul si locul calculatoarelor in procesul de instruire, contributia acestora la dezvoltarea creativitatii si la asigurarea caracterului interdisciplinar intre informatica si celelalte discipline de invatamant. În partea a doua sunt prezentate cateva obiective avute in vedere in studiul informaticii in contextul actual al procesului de invatamant precum si metodica elaborarii programelor.

Capitolul al cincilea cuprinde consideratii metodice cu privire la predarea metodelor numerice de calcul matriceal, la sfarsitul acestuia atasand programele realizate pentru fiecare dintre metodele prezentate. Programele au fost rulate pe exemplele date in lucrare.