Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

Cuprins
1.CAMPURI VECTORIALE
i 1.1 CAMPURI SCALARE
i 1.2. CAMPURI VECTORIALE
i 1.3.SUBVARIETATI ALE LUI IRN
i 1.4 DERIVATA IN RAPORT CU UN VECTOR
i 1.5.CAMPURILE VECTORIALE CA OPERATORI LINIARI SI DERIVARI
i1.6 OPERATORI DIFERENTIALI
2.CAMPURI VECTORIALE PARTICULARE
i2.1. CAMPURI VECTORIALE IROTATIONALE
i2.2 . CAMPURI VECTORIALE CU SIMETRIE SFERICA
i2.3.CAMPURI VECTORIALE SOLENOIDALE
i2.4. REPREZENTARILE MONGE SI STOKES
i2.5. CAMPURI VECTORIALE ARMONICE
i2.6. CAMPURI VECTORIALE KILLING
i2.7. CAMPURI VECTORIALE CONFORME
i2.8. CAMPURI VECTORIALE AFINE SI PROIECTIVE
i1.9. CAMPURI VECTORIALE TORSIONALE
3. PROBLEME REFERITOARE LA CAMPURI DE VECTORI

Alte date

?INTRODUCERE

Prezenta lucrare contine notiuni teoretice si aplicatii interesante referitoare la campuri de vectori .Lucrarea este structurata in trei capitole :

Capitolul I –Campuri vectoriale

In acest capitol sunt descrise campurile scalare si campurile vectoriale ca fiind modele matematice derivate din legi ale naturii din care citam urmatoarele exemple :

1)legea vitezei de sublimare a moleculelor si legea presiunii necesare aparitiei fenomenului de sublimare ,conditia de echilibru si expresia volumului in procesul de obtinere in cosmos o unor produse in forma de sfere .

2)viteza de evolutie locala a unui sistem biologic format dintr-o specie “rapitor” si o specie “prada”, campul gravitational , campul electrostatic , campul vitezelor in masa unui fluid si gradientul unui camp scalar.

Sunt prezentate teorema functiei inverse si teorema functiei implicite care stau la baza geometriei diferentiale.Partea elementara din aceasta geometrie se refera la subvarietatiile lui IRn .Sunt puse in evidenta unele proprietati cantitative sau calitative ale campurilor scalare si vectoriale de derivata in raport cu un vector sau cu un camp vectorial tratate in subcapitolul 1.4 sau de operatorii gradient, hessiana, rotor, divergenta sau laplacian prezentati in subcapitolul 1.6.In subcapitolele 1.5, 1.7 sunt descrise alternative de definire a vectorilor tangenti ,si deci a campurilor vectoriale , impuse de nevoile de abstractizare si anume in trecerea de la IRn la varietati diferentiabile finit sau infinit dimensionale .

Capitolul II –Campuri vectoriale particulare

In acest capitol se dezvolta teoria de reprezentare locala a campurilor vectoriale si se realizeaza legaturi intre campurile vectoriale cu semnificatii fizice si campurile vectoriale cu semnificatii geometrice.

Campurile vectoriale irotationale de clasa C1 sunt local potentiale, iar potentialele se determina cu ajutorul integralei curbilinii de al doilea tip. Daca lucram pe intervale n-dimensionale sau pe multimi convexe este suficienta integrala simpla si rezultatele sunt globale.Campul magnetic exterior generat de un curent care circula printr-un conductor cilindric este irotational descris in subcapitolul 2.1.

Campurile vectoriale cu simetrie sferica sunt campuri global potentiale, cele mai des intalnite fiind campurile newtoniene si campurile electrostatice prezentate in subcapitolul 2.2.

Campurile vectoriale solenoidale de clasa C1 pe multimi deschise din IR3 admit potentiali vectori locali.Campurile vectoriale de clasa Cpe multimi deschise din IRn, n3,admit reprentarea locala :

X=gradf1..gradfn-1

Un exemplu de campuri solenoidale sunt campurile vitezelor unui fluid incompresibil si campul Biot-Savart descrise in subcapitolul 2.3.

Orice camp vectorial de clasa C pe o multime deschisa si conexa din IR3 admite reprezentarea locala Monge,X=gradh+fgradg si reprezentarea locala Stokes, X=gradh+rotY.(2.4.)

Numim campuri armonice campurile vectoriale irotationale si solenoidale . Cel mai sugestiv exemplu este campul vitezelor pentru un fluid incompresibil prezentat in subcapitolul 2.5.

Pentru campurile vectoriale Killing prezentate in subcapitolul 2.6, campurile vectoriale conforme pezentate in subcapitolul 2..7, campurile afine sau proiective pe IRn prezentate in subcapitolul 2.8 avem expresii explicite. Campurile vectoriale torsionale descrise in subcapitolul 2.9, sunt interesante cel putin prin cazurile particulare: campuri concirculare, campuri concurente, campuri recurente si campuri paralele .Campurile newtoniene si campurile electrostatice, cu simetrie sferica , sunt torsionale.

Capitolul III – Probleme referitoare la campuri de vectori

In acest capitol sunt date problemele referitoare le campuri vectoriale speciale, rezolvate intr-o maniera moderna. Sunt abordate chestiuni de natura locala si globala. Avand in vedere diversitatea si complexitatea notiunilor teoretice care intervin in lucrare, fapt ce face mai dificila manevrarea acestora, am urmarit de regula, prezentarea unor solutii complete, insotite adeseori de observatii care contin comentarii ce pun in evidenta proprietati suplimentare.

Multumesc coordonatorului stintific al acestei lucrari , doamna Mariana Popescu pentru ajutorul acordat.

1.CAMPURI VECTORIALE

§ 1.1 CAMPURI SCALARE

Fie IR multimea numerelor reale si IRn spatiul euclidian canonic cu dimensiunea n.

Definitie.O functie de tipul f :IRn?IR se numeste camp scalar pe IRn.. Pentru prescurtare campul scalar se noteaza cu f, iar valoarea sa in punctul x = (x1,…,xn) cu f(x).

Definitie.Un camp scalar continuu se numeste de clasa C0 .

Definitie.Un camp care are derivate partiale continue pana la ordinul p inclusiv (p = 1,2,… ) se numeste de clasa C p .

Definitie.Un camp scalar care admite o dezvoltare in serie Taylor in vecinatatea oricarui punct x?IRn se numeste de clasa C ? sau analitic.

Observatie. Fie S o submultime oarecare a lui IRn.Campul scalar f :S?IR se numeste de clasa C P, p ? 1 ,daca exista o multime deschisa D ? IRn care include pe S si un camp scalar F :D ? IR de clasa C p, p ? 1, astfel incat f = F?S.

Fie f :IRn?IR un camp scalar de clasa C 1. Solutiile sistemului :

se numesc puncte critice ale campului scalar f .Punctele in care cel putin una din derivatele nu se anuleaza se numesc puncte regulate pentru f.

Fie c un numar real .Multimea MC = f—1(c) = {(x1,….,xn)?( x1,….,xn)?

? IRn , f(x1,….,xn) = c} se numeste multime de nivel constant c sau multime de ecuatie carteziana implicita f(x1,….,xn)=c. Pe scurt se scrie Mc : f(x1,….,xn) = c .

Evident , daca c ?f (IRn) , atunci Mc = ? .

Denumirile punctele de nivel constant , curbe de nivel constant si suprafete de nivel constant se utilizeaza pentru anumite mutimi de nivel constant in cazurile n = 1, n = 2, respectiv n = 3 (fig 1.3).