Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

Cuprins
I. CRITERII DE APROXIMARE A FUNCTIILOR
I.1 INTRODUCERE
I.2 CRITERIUL DE APROXIMARE PRIN INTERPOLARE
I.3 CRITERIUL DE APROXIMARE CU ABATERE MEDIE PATRATICA MINIMA
I.4 CRITERIUL DE APROXIMARE IN SENSUL LUI CEBISEV
II. APROXIMAREA FUNCTIILOR PRIN INTERPOLARE
II.1 INTRODUCERE
II.2 POLINOMUL DE INTERPOLARE AL LUI LAGRANGE
II.3 DIFERENTE FINITE
II.4 POLINOMUL LUI NEWTON DE INTERPOLARE
II.5 DIFERENTE DIVIZATE. POLINOAME DE INTERPOLARE PE BAZA DIFERENTELOR DIVIZATE
III. APROXIMAREA FUNCTIILOR CU ABATERE MEDIE PATRATICA MINIMA
III.1 CAZUL CONTINUU
III.2 CAZUL DISCRET
IV. APROXIMAREA FUNCTIILOR IN SENSUL LUI CEBISEV
IV.1 CAZUL CONTINUU
V. CRITERII DE APROXIMARE A FUNCTIILOR
V.1 INTRODUCERE
V.2 CRITERIUL DE APROXIMARE PRIN INTERPOLARE
V.3 CAZUL DISCRET
V.3.1 CAZURI PARTICULARE ALE FORMULEI COTES
V.3.2 FORMULA DREPTUNGHIURILOR
V.3.3 FORMULA SIMPSON
VI. BIBLIOGRAFIE

Alte date

?

1. CRITERII DE APROXIMARE A FUNCTIILOR

1.1. Introducere

În foarte multe aplicatii practice apare necesitatea aproximarii unei functii f:[a,b]?R printr-o alta functie F(x) relativ simpla, astfel ca pentru orice valoare a lui x, valoarea lui F(x) sa fie "suficient de aproape" de valoarea lui f(x).

Vom scrie f(x)?F(x), x € [a, b].

Exista in special doua cazuri in care se impune aproximarea functiei f(x). Primul este acela in care functia f(x) are o expresie complicata sau este dificila de evaluat sau de manipulat in calcule. Astfel, de exemplu, pentru evaluarea functiei cos(x) prin operatii aritmetice se impune mai intai aproximarea functiei printr-o suma partiala a seriei de puteri: cos x ? 1 - x2 + x4 - … (-1)n x2n

2! 4! (2n)!

Al doilea caz in care se impune aproximarea functiei f(x) este acela in care aceasta este data printr-o tabela de valori, obtinuta, de exemplu, ca urmare a unor masuratori:

xk

x0

x1 ………………………….

xn

f(xk)

f(x0)

f(x1)

f(xn)

În aceasta situatie se aproximeaza functia data tabelar printr-o expresie analitica, care sa permita interpolarea in tabela de valori, cu alte cuvinte estimarea valorilor f(x) pentru x ? xk.

Fie M - { f / f: [a,b] ? R } un spatiu vectorial si fie o multime de functii ?0(x), ?1(x), …?k(x), apartinand lui M, liniar independente, adica c0?0(x)+ c1?1(x)+….+ ck?k(x)=0, sa rezulte c0= c1=………=ck= 0.

Aproximarea unei functii f oarecare din M se face printr-o combinatie liniara de un numar finit m de functii de tipul ?k, adica f(x) ? Fm(x), unde Fm(x) = c0?0(x)+ c1?1(x)+….+ cm?m(x) = ck?k(x). Vom numi functia Fm(x) polinom generalizat, aproximarea functiei f facandu-se in acest caz prin polinoame generalizate.

Foarte frecvent in procesul de aproximare se iau drept set de functii liniar independente, functiile 1, x, x2, …..xm. În acest caz, polinomul de aproximare Fm (x) va fi un polinom algebric. Polinoamele sunt usor de evaluat, iar suma, diferenta si produsul a doua polinoame conduc de asemenea la polinoame. În plus, polinoamele pot fi derivate si integrate cu usurinta. Aproximarea polinomiala se bazeaza pe teorema de aproximare a lui Weierstrass care arata ca daca f(x) este continua pe intervalul inchis [a,b] atunci pentru orice ? > 0, exista un polinom pn(x) de gradul n=n(?) , astfel ca: f(x)-pn[x]< ?, a ? x ? b.

Din nefericire criteriile existente pentru generarea polinomului de aproximare nu garanteaza in nici un fel ca polinomul gasit este cel pus in evidenta de teorema lui Weierstrass.

Un alt set de functii liniar independente, des utilizate in teoria aproximarii, sunt: ½, cos x, sin x cos 2x, sin 2x, … cos mx, sin mx. În acest caz polinomul de aproximare poarta numele de polinom trigonometric.

Fm(x) = a0/2 + a1 cos x + b1 sinx + …+ am cos mx + bm sin mx = a0/2 + (ak cos kx + bk sin kx).

Din expresia functiei Fm(x) se observa ca nu este suficienta cunoasterea functiilor liniar independente ?k(x), fiind necesara de asemenea determinarea coeficientilor ck.. Pentru calculul acestor coeficienti sa presupunem ca spatiul M se poate organiza ca un spatiu metric, adica putem defini pe M o functie ce masoara distanta dintre doua functii oarecare f si g. Vom determina polinomul generalizat Fm(x) deci si coeficientii c0, c1,………,cm impunand conditia ca distanta dintre functia data f si multimea polinoamelor generalizate sa fie cit mai mica. În functie de modul de definire a distantei se pot pune in evidenta urmatoarele criterii mai des utilizate

1.2. Criteriul de aproximare prin interpolare

Daca in spatiul metric M se defineste distanta dintre doua puncte f si g in felul urmator; d(f,g) = ?f(xi) - g(xi)|, se ajunge la criteriul de aproximare prin interpolare. Daca se inlocuieste functia g(x) prin polinomul de interpolare Fm(x), conditia ca distanta dintre functia f(x) si polinomul de interpolare Fm(x) sa fie minima impune sistemul de ecuatii: Fm(xi) = f(xi), i=0, 1, 2…., n.

Daca functia f este data printr-o tabla de valori:

Xk x0 x1……xn

f(xk) f(x0) f(x1)….f(xn)

alegand valorile xi ca fiind cele din tabela, sistemul de ecuatii impune de fapt coincidenta dintre functie si polinom in punctele xi numite noduri de interpolare (fig.1).

Fig. 1

Se observa din figura ca intre doua noduri de interpolare abaterea polinomului de interpolare de la functia data ?(x) = f(x) - Fm(x) poate atinge valori apreciabile. Coeficientii ck ai polinomului de interpolare dat astfel:

Fn(x) = c0 +c1x + c2x2 +… + cnxn

Se calculeaza conform celor aratate mai sus, rezolvand sistemul de n+1 ecuatii liniare cu (n+1) necunoscute c0, c1, …, cn.

c0 +c1x0 + c2x02 +… + cnxn0 = f(x0)

c0 +c1x1 + c2x12 +… + cnxn1 = f(x1)

-- - -- -- - -- -- - - - - - - - - - - - - - - - - -

c0 +c1xn + c2xn2 +… + cnxnn = f(xn)