Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

Cuprins
Pag.
Capitolul 1 NOTIUNI INTRODUCTIVE .............. 1
1.1. Spatii vectoriale .... 1
1.2. Baza si dimensiune .............. 10
1.3. Schimbarea bazei .. 18
1.4. Aplicatii liniare ..... 21
1.5. Matricea unei aplicatii liniare ............. 26
1.6. Vectori si valori proprii ....... 31
1.7. Forma diagonala ... 39
Capitolul 2 ENDOMORFISME NILPOTENTE .... 44
Capitolul 3 FORMA CANONICA JORDAN ....... 58
Bibliografie .. 75

Alte date

?Capitolul 1

NOTIUNI INTRODUCTIVE

§ 1.1. Spatii vectoriale

În cele ce urmeaza (K, +, ?) va reprezenta un corp comutativ, ale carui elemente le vom numi scalari si V o multime nevida, ale carui elemente le vom numi vectori, pe care vom defini:

- o lege de compozitie interna, notata aditiv si numita adunarea

vectorilor: ,,+’’ : V V V

(v1, v2) v1+v2 V;

- o lege de compozitie externa, notata multiplicativ si numita

inmultirea vectorilor cu scalari din K :

,, ?’’: K V V

(, v) v.

În raport cu aceste operatii, (V, +, ?) se numeste spatiu vectorial peste corpul K daca sunt indeplinite conditiile:

1) (V, +) grup abelian;

2) i) si , ,

ii) si , ,

iii) si , ,

iv) , .

Observatia 1.1.1. i) În definitia de mai sus nu trebuie sa se confunde operatia de adunare a scalarilor din corpul K cu operatia de adunare a vectorilor din V chiar daca sunt notate la fel. De asemenea nu trebuie sa se faca confuzie intre inmultirea din corpul K si inmultirea cu scalari definita mai sus.

Propozitia 1.1.2. Daca V este un spatiu vectorial peste corpul K, atunci:

i) Pentru orice vector avem ca

ii) Pentru orice scalar avem ca

iii) Pentru orice vector , .

iv) Pentru orice scalar , .

v) Pentru orice scalar si orice vector avem ca daca si numai daca sau .

Demonstratie.

i) Fie atunci , deci

ii) , deci

iii) Din proprietatea i) avem . Deci

Deci , de unde rezulta ca .

iv) ,.

v) Fie si astfel ca .

Daca sau afirmatia este adevarata. Presupunem . Atunci si avem ca Deci . Daca si atunci rezulta pentru ca daca am presupune si ar rezulta deci contradictie.

Observatia 1.1.3. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si v1, v2 = V atunci definim diferenta celor doi vectori astfel:

Scaderea vectorilor nu mai este nici comutativa si nici asociativa.

Subspatii vectoriale

Fie V un subspatiu vectorial peste un corp comutativ K si o multime nevida.

Definitia 1.1.4. V ‘se numeste subspatiu vectorial al lui V daca V ‘ are structura de K – spatiu vectorial in raport cu operatiile definite pe V si notam V ‘ V. (Deci V ‘ V daca si numai daca sunt indeplinite conditiile: