Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

Cuprins
INTRODUCERE
Capitolul I FUNCTII UNIVALENTE. REZULTATE CLASICE
1.1 Definitii si notatii.......5
1.2 Teorema ariei.Conjectura lui Bieberbach..............7
1.3 Teoreme de acoperire si de deformare...13
1.4 Teorema generalizata a ariei....20
1.5 Demonstrarea conjecturii lui Bieberbach pentru cazul n=4.............23
Capitolul II
2.1 Teorema de univalenta a lui Calugareanu....29
Capitolul III CLASE SPECIALE DE FUNCTII UNIVALENTE
3.1 Functii stelate............32
3.2 Functii convexe.........39
3.3 Functii a caror derivata are partea reala pozitiva..48
3.4 Functii tipic reale......53
Concluzii.59
BIBLIOGRAFIE 60

Alte date

?Clase speciale de functii univalente

?

INTRODUCERE

În lucrarea de fata sunt prezentate pentru inceput rezultatele clasice fundamentale din teoria geometrica a functiilor complexe univalente.

Capitolul 1 se refera la rezultatele de baza ale teoriei geometrice a functiilor, cum ar fi teorema ariei, teoremele de acoperire si de deformare pentru clasa S, teorema generalizata a ariei, iar ca o aplicatie a acesteia este demonstrata conjectura lui Bieberbach pentru cazul n=4.

Capitolul 2 contine o teorema de univalenta a lui Calugareanu.

Capitolul 3 prezinta o expunere a unora din principalele clase speciale de functii univalente definite cu ajutorul unor proprietati geometrice remarcabile, ca de exemplu: functiile stelate, functiile convexe, functiile spiralate, functiile a caror derivata are partea reala pozitiva, functiile tipic reale.

Ultima parte a lucrarii cuprinde bibliografia necesara realizarii acestei lucrari.

Prin tema aleasa am dorit sa vin in intampinarea studentilor care urmeaza cursuri de analiza complexa. Aceasta lucrare isi propune sa familiarizeze studentii si viitorii cercetatori cu notiunile de baza specifice acestui domeniu.

În aceasta lucrare am incercat sa reunesc toate notiunile teoretice necesare pentru intelegerea functiilor univalente.

Doarece in Romania nu exista foarte multa carti care sa trateze aceasta tema, destul de importanta in analiza complexa, unul din scopurile acestui proiect este de a face cunoscute functiile univalente

O functie olomorfa (sau meromorfa) intr-un domeniu D se zice ca este univalenta in acest domeniu daca orice valoare a sa este luata o singura data in D, cu alte cuvinte, daca ea este injectiva in D. Daca functia este meromorfa si injectiva (univalenta) in D ea nu poate avea in acest domeniu decat un singur pol, care in mod necesar este pol simplu. O functie olomorfa (sau meromorfa) intr-un domeniu D se zice ca este n-valenta in acest domeniu daca orice valoare a sa este luata in cel mult n puncte distincte din D.

Pentru ca o functie olomorfa intr-un domeniu D sa fie univalenta in D este necesar ca derivata sa nu se anuleze in D.

Aceasta conditie nu este insa si suficienta, dupa cum ne arata exemplul oferit de functia , care nu este univalenta in planul complex C desi , pentru orice .Pe de alta parte se stie ca daca este o functie olomorfa intr-un domeniu , conditia , este echivalenta cu proprietatea de injectivitatea functiei pe o anumita vecinatate a punctului . În acord cu aceasta observatie, o functie olomorfa in D se zice ca este local univalenta daca , pentru orice .

În mod natural se pune problema de a vedea ce alte conditii se pot adauga conditiei , care sa asigure univalenta globala a functie in domeniul D. Desigur ca este de dorit sa se obtina conditii necesare si suficiente de univalenta. În cazul cand D este un disc, astfel de conditii au fost obtinute au fost obtinute puntru prima oara in anul 1931 de Gh. Calugareanu. Prin natura problemei, aceste aceste conditii sunt destul de complicate,astfel incat, in vederea aplicatiilor este important sa se cunoasca conditii suficiente de univalenta relativ simple, usor de testat. Multe dintre aceste conditii suficiente exprima analitic anumite proprietati geometrice remarcabile ale imaginii domeniului D prin functia f, ca cea de convexitate, stelaritate, etc. Ele sunt date, de obicei, sub forma unor inegalitati diferentiale, iar fiecare conditie suficienta de univalenta defineste o anumita clasa de functii univalente. Studiul proprietatilor analitice si geometrice ale functiilor apartinand unei astfel de clase au constituit obiectul multor cercetari.

Prima lucrare semnificativa, care a atras atentia asupra studiului functiilor univalente, apartine lui P. Koebe si a fost publicata in 1907. În perioada care s-a scurs pana in prezent, teoria functiilor univalente s-a dezvoltat considerabil. Printre tratatele si monografiile consacrate functiilor univalente amintim, in ordine cronologica:

1. P. Montel. Lecons sur les Fonctions Univalentes ou multivalentes, Gauthier- villars. Paris, 1993

2. A. C. Schaeffer, D. C. Spercer, Coefficient Regions for Schlicht Functions, Amer. Math. Soc. Collog. Publ., vol. 35, New York, 1950

3. Z. Nehari. Conformal Mappings, Mc Graw-Hill Book Comp., 1952(Dover Publ. Inc. 1975)

4. W. K. Hayman, Multivalent Functions, Cambridge Univ. Press, 1958

5. J. A. Jekins, univalent Functionsand Conformal Mapping, ed. II, 1965

6. I. M. Millin, Functii univalente si sisteme ortonormate, Izdat. Nauka, Moscow, 1971(limba rusa)

7. Ch. Pommerenke, Univalent Functions, Vanderhoeck and Ruprecht, Gottingen, 1975

8. A. W. Goodman, Univalent Functions, Mariner Publ. Comp., Tampa,

Florida, 1984

9. P. L. Duren, Univalent Functions, Springer-Verlag, 1984

10. P. Henrici, Applied and computational Complex Analysis, Wiley Classics Library, New York, 1993.

11. M. Rosenblum, J. Rovnyak, Topics in Hardy Classesand Univalent Functions, Birkhauser Verlag, 1994.

12. S. S. Miler, P. T. Mocanu, Differential Subordinations. Theory and Applications, Marcel Dekker(sub tipar)

Capitolul 1

Functii univalente. Rezultate clasice

1.1Definitii si notatii

În cele ce urmeaza, fie H( U) multimea functiilor olomorfe in discul unitate

U={ z ? C: |z| < 1}. Pentru a ? si n ? |N* vom nota

si

Vom nota cu S={f ? A: f este univalenta in U}, adica S reprezinta clasa functiilor olomorfe si univalente in discul unitate, normate cu conditiile f(0)=0, f ’(0)=1, deci functiile olomorfe si univalente in U ( adica ) care au dezvoltarea in serie de puteri de forma

Aceasta alegere a conditiilor de normare nu restrange esential studiul general al functiilor olomorfe si univalente intr-un domeniu simplu conex arbitrar D, deoarece conform teoremei lui Riemann, domeniul D se poate reprezenta conform pe discul unitate U, iar unei functii olomorfe si univalente in D i se poate asocia o functie g olomorfa si univalenta in U, functia g putandu-se scrie sub forma g(z)=g(0)+g'(0)f(z), unde f ? S.

Se verifica usor urmatoarele proprietati imediate de invarianta ale clasei S.

Proprietatea 1.1.1 Clasa S este invarianta

1.rotatie, adica

2.dilatare, adica